A rangsorban a „Lineáris algebra
4. igénypont szerinti. Rank mátrix.
Legyen - tetszőleges mátrixméretek a mező fölé K, és hagyja, hogy a k természetes szám úgy, hogy ne haladja meg a sorok számát a mátrix számát vagy oszlopai, azaz .
Definíció. Minor - rendelni az A mátrix az úgynevezett meghatározója a mátrix - az elsőrendű, amely nyert az A mátrix törlésével valamennyi sorok és oszlopok, kivéve, ha azt egy tetszőleges módon a sorok és oszlopok.
Példa. . Megjegyzés 1. és 4. oszlopok, és az első két sorban, és a maradék (2. és 3. oszlop és 3. sor) határon ki: - Kisebb másodrendű mátrix
Vagy törölje oszlop mátrix Egy harmadik példa:
- Kisebb a harmadik érdekében a mátrix A.
Nyilvánvaló, hogy kisebb elsőrendű olyan elem, a negyedik rend kiskorúak nem létezik, a harmadik rend kiskorúak vannak pontosan négy, a másodrendű kiskorúak pontosan 18 darab.
Definíció. A rangsorban a nulla mátrix maximális rendjét nulla kisebb.
Rang nullmátrix definíció szerint feltételezzük, hogy nulla.
Megjegyzés. A definíció következik, hogy a rangot a mátrix nem nulla pozitív egész szám nem haladja meg a sorok számát, vagy sem az oszlopok számát. Tehát a fenti példában, a rangot lehet, értéke 1 vagy 2, vagy 3. Mivel a kisebb másodrendű, a rangot a mátrix egyenlő 2, ha mind a négy annak csekély harmadik rend 0, és egyenlő a 3, ha fiatalkorúak körében harmadik rend van a legalább egy nem nulla.
Legyen A - tetszőleges mátrixméretek egy mezőt K. Ekkor a sorban, amelynek a hossza n, és úgy tekinthető, mint a vektorok aritmetikai vektortérnek sorok n hosszúságú :.
Az oszlopok a mátrix és m az magassága lehet tekinteni, mint a magassága az oszlop vektorok a vektor tér számtani m :.
Jelöljük - egy olyan rendszer vonalak A mátrix, - egy olyan rendszer oszlopai. Ezután minden és mindenki számára. Ezek a rendszerek, valamint bármely rendszer vektortérnek vektorok saját rangot.
Tétel. (A rangot a mátrix.) A helyezés a rangot a mátrix rendszer annak sorok és oszlopok egyenlő rangot rendszerét.
Egyébként a mi jelöléssel :.
Annak bizonyítása, ez a tétel van szükségünk két lemma:
1. Lemma Legyen A - négyzetes mátrix - érdekében a mező fölé K. A következő állítások ekvivalensek:
1) a rendszer mátrix sorok A - lineárisan függ;
2) a rendszer az oszlopok a mátrix - lineárisan függ;
3) a meghatározója a mátrix nulla.
Bizonyítás. . Ebből következik a tulajdonságait meghatározó, és bebizonyosodott.
. Let. Azt kell bizonyítani, hogy a rendszer a mátrix oszlopai lineárisan függ.
Tegyük fel az ellenkezőjét. Hagyja, hogy a rendszer oszlop - lineárisan független. Mivel A - négyzetes mátrix, akkor annak minden oszlopok n, azaz, a magassága vektorok a tér dimenzió egyenlő n-nel. Következésképpen a rendszer az alapja a tér.
Találunk az átmenet mátrix a kanonikus alapján, hogy az alap a mátrix oszlopai A. Ehhez bővítjük a bázis vektorok a kanonikus alapon. Mátrix formában ezek bővítések lesznek:
, ahol a C - átmenet mátrix. De az utolsó egyenlőség egyenlőség, ahol E - az identitás mátrix, ami azt jelenti, hogy. Mivel a transzfer mátrix nem degeneráltak, azaz Ebből következik, hogy ellentétben a hipotézist. Következésképpen, a feltételezés a lineáris függetlenség rendszerének mátrix oszlopait A helytelen, QED
. Ebből következik a fentiekből, hogy a rendszer a vonalak a mátrix lineárisan függ, ha és csak akkor, mert sorában az A mátrix a oszlopai az átültetett mátrix. Azóta mindent bizonyított.
Következmény. Legyen A - négyzetes mátrix - érdekében a mező fölé K. A következő állítások ekvivalensek:
1) a rendszer mátrix sorok A - lineárisan függetlenek;
2) a rendszer az oszlopok a mátrix - lineárisan függetlenek;
3) a meghatározója a mátrix nem egyenlő nullával.
2. Lemma Legyen - alterét tér V egy mezőt K és. Aztán ott van egy nem nulla lineáris formában, azaz, ,.
Bizonyítás. Let - L. altér alapján kiterjesztve azt az alapot a tér V :. Mi határozza meg a lineáris formában V a következő egyenlet
Amint láttuk, ez a leképezés lineáris forma, és nem nulla, azaz például,
Let - tetszőleges altér L. vektor bontja a bázis V:
, Ebből következik, hogy a QED