A koncepció a primitív függvény
A fő feladata a differenciálszámítás volt a számítás a származék vagy eltérés egy adott funkciót. Integrálszámítás a tanulmány, amely haladunk, megoldja az inverz probléma, nevezetesen, a megállapítás a funkciója annak származéka vagy eltérés. Azaz, amelynek dF (x) = f (x) d (7,1) vagy F „(x) = f (x)
ahol f (x) - egy ismert függvény, meg kell találni az F (x) függvény.
Feltételezzük továbbá, hogy az egyenlő (7.1) végzik a véges vagy végtelen intervallumban. Ismeretlen függvény F (x) egy primitív függvény vonatkozásában az f (x). Így tudjuk írni a következő meghatározást.
Definíció: Az F (x) nevezzük primitív függvény f (x), az [a, b], ha egyáltalán pontok ebben a szegmensben, a egyenlőséget: F „(x) = f (x) vagy dF (x) = f (x ) d.
Például. egyik primitívek a funkciók az f (x) = 3x 2 jelentése F (x) = x 3, mint (3 x) = 3x 2 pervooobraznoy De az f (x) = 3x 2 is működik u. mert .
Így, az f (x) = 3x 2 van egy végtelen halmaz pervooobraznyh, amelyek mindegyike különbözik csak konstans kifejezést. Megmutatjuk, hogy ez az eredmény tartja az általános esetben.
Két különböző tétel primitívek az azonos funkciót meghatározott időközönként, különböznek egymástól ebben az intervallumban egy konstans.
ahol C - állandó (itt használt következménye Lagrange-tétel).
Tétel tehát beigazolódott.
Geometriai illusztráció. Ha y = F1 (x) és y = F2 (x) - primitívek az azonos f (x). Az érintő pontok a grafikonok egy közös abszcisszán x egymással párhuzamosan (ábra. 7.1).
Ebben az esetben, a közöttük lévő távolság görbe mentén az y-tengelyen az állandó F2 (x) - F1 (x) = C Vagyis ezek a görbék bizonyos értelemben „párhuzamos” egymással.
Hozzáadása bizonyos primitív F (x) az f (x). meghatározott intervallumon X összes lehetséges állandók C megkapjuk az összes lehetséges primitívek a f (x).
Így, az expressziós F (x) + C. hol. és F (x) - a primitív függvény f (x) magában foglalja az összes lehetséges primitívek a f (x).
Példa 1. Annak ellenőrzése, hogy a funkció működéséhez antiderivatives
Válasz. primitívek egy függvény és működni fog
Definíció: Ha egy függvény F (x) egy primitív az f (x), a több primitívek F (x) + C nevezzük határozatlan integrál az f (x), és jelentésük:
f (x) - integrandust,
f (x) dx - integrandust
Ebből következik, chtoo határozatlan integrál függvénye az általános formában, a eltérés egyenlő a integrandust, ahol egy származéka a változó x egyenlő az integrandust minden ponton.
A geometriai szempontból a határozatlan integrál egy család görbék, amelyek mindegyike eltolása révén kapunk az egyik görbék önmagával párhuzamosan felfelé vagy lefelé, azaz az y-tengelyen (ábra. 7.2).
A művelet számítási határozatlan integrál függvény az integráció ezt a funkciót.
Megjegyzendő, hogy ha a származékot elemi függvény mindig egy elemi függvényt, pervooobraznaya elemi funkciók nem képviseli véges számú elemi függvények.
Nézzük a tulajdonságokat a határozatlan integrál.
Definíció 2 alábbiak:
1. A származék a határozatlan integrál egyenlő integrandust funkciót, azaz, ha F „(x) = f (x). az
2. Az eltérés a határozatlan integrál integrandust
A meghatározása a tulajdonságok és differenciális (7.3)
3. A határozatlan integrál a differenciális egy függvény a funkció egy konstans, azaz, (7,5)
A érvényességét (7,5) könnyen ellenőrizhető differenciálódás (a különbségek a két oldal egyenlő).
Zamechaniya.V képletek (7,4) és (7,5) és a jelek, hogy ott vannak, elpusztítják egymást (ha figyelmen kívül hagyjuk a konstans kifejezést (7,5)). Ebben az értelmezésben a differenciálás és az integráció inverz matematikai műveleteket.
4. A nulla konstans tényező lehet venni, mint egy jel a határozatlan integrál, tehát ha. az
Az ingatlan be van jelölve differenciálásával mindkét rész.
5. A szerves az algebrai összege két funkció az összege integráljainak ezeket a funkciókat, azaz (7.7)
Ennek bizonyítására azt is figyelembe kell származék mindkét oldalon, és győződjön meg róla, azok egyenlőek.
Ez a tulajdonság igaz marad minden véges számú tagra.
A számítás a határozatlan integrálok célszerű alkalmazni a következő szabályokat:
A szabályok bebizonyította differenciálásával jobb és bal oldalán (7,8-7,10).