A dimenziója vektorterekben „Lineáris algebra

3. igénypont szerinti. A dimenzió vektor terek.

Tétel. (A lineáris mérete a shell).

Hagyja, hogy a V - vektortér feletti K, és - egy tetszőleges rendszer vektorok V. Ezután,

ha a rendszer vektorok - lineárisan független, akkor ez a rendszer az alapja a lineáris kalibrációs és.

Bizonyítás. A meghatározása lineáris span, hogy a rendszer generál rendszer térvektor. A hipotézis, a rendszer elérési út független, ezért ez az alapja a lineáris span L, QED

Tétel. Bármely olyan vektor, altér L véges V vektortér maga véges és, és, ha majd.

1) Ha az L - null altér, definíció szerint azt feltételezzük, véges dimenzióban, és definíció szerint nullának.

2) Tegyük fel most, L - nem nulla altér és van egy nem nulla vektor. Ezután a rendszer egy nem nulla vektor lineárisan független.

Tegyük fel, hogy a altér L nincs véges vektorok generáló rendszer. Ezután a altér L nincs maximális lineárisan független rendszer vektorok, mivel bármilyen maximális lineárisan független rendszer generáló rendszer (lásd. A bizonyíték a négy egyenértékű meghatározása alapján, az átmeneti pont a) proof).

Így a rendszer path független, de nem maximális. Következésképpen létezik egy vektorba, hogy a rendszer lineárisan független, és nem a maximális. Folytatva, elérkeztünk egy lineárisan független rendszert th vektor altér L. De kap egy lineárisan független vektorok vektortér V rendszer, amelyben a vektorok számát meghaladják a dimenzió, ami lehetetlen. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy bármilyen vektor altér L véges V vektortér véges generáló rendszer önmagában véges.

Továbbá bármely véges dimenziós vektortér egy alapot. Hagyja - alapján altér L, akkor. Mivel a rendszer egy lineárisan független rendszer nem vektortér vektorok V, és a szám a vektorok abban meghaladja a méretei, azaz a , QED

2) Ha, akkor L jelentése egy alapot a altér alapján a helyet, és V, mivel a rendszer lineáris és független. Következésképpen ,.

Következmény. Bármilyen altér alapján vektor egészíteni egy alapot az egész teret.

Bizonyítás. Bármely olyan vektor, altér alapján V vektortér lineárisan független halmaza vektorok egy vektor tér V, amely lehet terjeszteni egy alapon.