02 Lineáris függés és függetlenség vektorok

Meghatározások lineárisan függő és független rendszerek vektorok

Tegyük fel, hogy egy olyan rendszer n-vektor

és van egy számsor, majd

Ez az úgynevezett lineáris kombinációja vektorok az adott rendszer egy adott sor együtthatók.

Definíció 23 (a nulla lineáris kombináció)

vektor rendszer

nazyvaetsyalineyno függő ha létezik egy sor együtthatók, amelyek közül legalább az egyik nem nulla, hogy a lineáris kombinációja a vektorok a rendszer ezt az együtthatók készletében egyenlő nulla vektor:

Definíció 24 (vektor útján ábrázolása a rendszer, mint egy lineáris kombinációja a többiek)

vektor rendszer

nazyvaetsyalineyno függő, ha legalább az egyik a vektorok ez a rendszer képviselheti egy lineáris kombinációja a maradék vektorok a rendszer.

Meghatározások 23. és 24. egyenértékűek.

Definíció 25 (a nulla lineáris kombináció)

vektor rendszer

nazyvaetsyalineyno független, ha a zéró lineáris kombinációja ez a rendszer csak akkor lehetséges, ha az összesnullával egyenlő.

Definíció 26 (via vektor reprezentációi a képtelenség a rendszer, mint egy lineáris kombinációja a többiek)

vektor rendszer

nazyvaetsyalineyno független, ha egyik vektorok ez a rendszer nem képviselheti egy lineáris kombinációja más vektorok a rendszer.

Tulajdonságok lineárisan függő és független rendszerek vektorok

2. Tétel (nulla vektor a vektor rendszer)

Ha a vektor rendszer egy nulla vektor, a rendszer lineárisan függ.

Kapunk tehát lineárisan függ a meghatározását vektorok révén lineáris kombinációja egy nulla (12), a rendszer lineárisan zavisima.

Teorema3 (függő alrendszer vektor rendszer)

Ha a rendszer a vektorok egy lineáris függvény alrendszer, az egész rendszer lineárisan függ.

 Legyen

- A lineáris függését az alrendszer, beleértve a legalább egy nem nulla:

Tehát definíció szerint 23, a rendszer lineárisan függ. 

Bármilyen alrendszer lineárisan független rendszer lineárisan független.

 Épp ellenkezőleg. Hagyja, hogy a rendszer lineárisan független, és van egy lineáris összefüggés alrendszer. De aztán, a 3. tétel, az egész rendszer is lineárisan függ. Ellentmondás. Következésképpen a lineárisan független alrendszer rendszer nem lehet lineárisan zavisimoy.

A geometriai jelentése lineáris függés és függetlenség vektorok

két vektor

éslineárisan függő akkor és csak akkor, ha.

és- lineárisan függő, ez a feltétel. majd, azaz ..

A nulla vektor kollineáris bármely vektorba

Két vektor lineárisan független, ha és csak akkor, ha

Nem volt egy egyenesre.

A rendszer a három vektor lineárisan függ akkor és csak akkor, ha ezek a vektorok egy síkban vannak.

- lineárisan függ, tehát, az egyik vektor képviseli, mint egy lineáris kombinációja a másik kettő.

ahol

és. A szabály szerint a paralelogrammaaz átlós paralelogramma oldalai, de egy paralelogramma - síkidomegy síkban- szintén egy síkban van.

- egy síkban vannak. Mi teszi a három vektor a pont O:

Nulla vektor egy síkban bármely két vektor.

Ahhoz, hogy a vektorok

Mi lineárisan független, ha és csak akkor, ha nem egy síkban vannak.

Bármely olyan vektor, sík lehet képviselt lineáris kombinációjával bármely két noncollinear vektorok ugyanabban a síkban.

Bármely négy vektorok tér lineárisan függő.

 fontolja 4 esetben:

Ha között vektorok a zéró vektor. Ezután a rendszer lineárisan függ a 2. tétel.

Ha körében vektorok legalább 1 pár kollineáris vektor. Ezután a rendszer lineárisan függ a Tétel 5 és 3.

Ha az egyik vektorok koplanáris hármas vektorok. Ezután a rendszer lineárisan függ a Tétel 6 és 3.

Ha nincsenek nulla vektorok vektorok közül egyenesbe pár és egy síkban háromágyas. Mi kell alkalmazni ezeket a vektorokat 4 tochkeO.

. Rajzolj egy sík vektorok. Ezután a gép a vektorok és a vektorok síkban. Majd felhívjuk áthaladó sík tochkuD párhuzamosan pár vektorok; ; volt. Gyalúkhoz keresztező vonalak kiépítése parallelepipedOB1D1C1ABDC.

Tekintsük OB1D1C1 - paralelogramma adottak a paralelogramma szabály.

Tekintsük OADD1 - paralelogramma (téglatest tulajdonságait), míg

By 1. tétel

úgy, hogy. Ezután, és definíció, 24 rendszer vektorok lineárisan függ. 

A összege a három nem egy síkba eső vektorok egy olyan vektorban, amely egybeesik egy átlós a paralelepipedon által alkotott Ezt a három vektort alkalmaznak a közös eredetű, az elején a vektor összeg egybeesik a közös eredetét e három vektorok.

Ha a hely, hogy három noncoplanar vektor bármely vektor ezt a helyet bontható lineáris kombinációja a három vektor.

Kapcsolódó cikkek

• Lineáris függés és függetlenség vektorok

• A véges dimenziós térben